\chapter{有理根定理及其应用}
\author{李国斌}
\date{2025年09月07日}

	\begin{abstract}
		有理根定理是初等代数中一个基础而强大的工具，它为求解整系数多项式方程的有理根提供了系统性的方法。本文旨在阐述有理根定理的定义与证明，并通过实例详细演示其应用步骤，包括如何列出所有可能的有理根候选，以及如何利用综合除法进行验证和因式分解。本文还将探讨该定理的价值与局限性。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	在求解多项式方程 $P(x) = 0$ 的根时，如果能找到一个有理数根，就可以通过多项式除法降低方程的次数，从而简化问题。然而，盲目猜测根是低效的。有理根定理（Rational Root Theorem）的价值在于，它将所有可能的有理根限制在一个有限的、由多项式系数决定的候选列表中，使得求解过程变得有章可循。
	
	\section{有理根定理}
	
	\begin{theorem}[有理根定理]
		设有一个 $n$ 次整系数多项式：
		\[
		P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \quad (a_n \neq 0, a_0 \neq 0)
		\]
		如果 $P(x) = 0$ 有一个有理根 $\dfrac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的整数（即 $\gcd(p, q)=1$），那么：
		\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
			\item 分子 $p$ 必须是常数项 $a_0$ 的整数因子。
			\item 分母 $q$ 必须是最高次项系数 $a_n$ 的整数因子。
		\end{enumerate}
	\end{theorem}
	
	\subsection{几何直观}
	一个非零多项式 $P(x)$ 的实根对应于函数曲线 $y = P(x)$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。有理根定理将所有可能的交点限制在有限个有理数点上。
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			% Draw axes
			\draw[->, thick] (-1, 0) -- (5, 0) node[right] {$x$};
			\draw[->, thick] (0, -2) -- (0, 2) node[above] {$y$};
			\node at (0,0) [below left] {$O$};
			
			% Draw a sample cubic function
			\draw[domain=-0.5:4.2, smooth, variable=\x, blue, very thick] plot ({\x}, {0.2*(\x-1)*(\x-2.5)*(\x-3.5)});
			\node[blue] at (4.5, 1.5) {$y = P(x)$};
			
			% Mark possible rational roots on x-axis (p/q)
			\foreach \x/\label in {1/1, 2.5/5/2, 3.5/7/2} {
				\draw (\x, 0.1) -- (\x, -0.1) node[below] {$\frac{\label}$};
				\filldraw[red] (\x, 0) circle (3pt);
			}
			% Mark other factors of a0 (p) on x-axis
			\foreach \x in {0.5, 2, 3, 4} {
				\draw[dashed, gray] (\x, 0.1) -- (\x, -0.1) node[below, black] {$\x$};
			}
			
			% Annotations
			\node[draw, rounded corners, fill=white, align=center] at (2.5, -1.5) {有理根定理将根的“搜索范围”\\限制在有限个候选点};
			\draw[->] (2.5, -1.2) -- (1, -0.2);
			\draw[->] (2.5, -1.2) -- (3.5, -0.2);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\section{定理的证明}
	\begin{proof}
		假设 $\dfrac{p}{q}$ 是 $P(x) = 0$ 的一个根，且 $p$ 与 $q$ 互质，即 $\gcd(p, q)=1$。则有：
		\[
		P\left(\frac{p}{q}\right) = a_n\left(\frac{p}{q}\right)^n + a_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + \cdots + a_1\left(\frac{p}{q}\right) + a_0 = 0
		\]
		将上述两边同时乘以 $q^n$ 以消去分母，得到：
		\[
		a_np^n + a_{n-1}p^{n-1}q + a_{n-2}p^{n-2}q^2 + \cdots + a_1pq^{n-1} + a_0q^n = 0
		\]
		将上述等式移项，可以分离出含有 $q$ 和含有 $p$ 的项：
		
		\begin{equation}
			a_np^n = -q(a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}p^{n-2}q + \cdots + a_1pq^{n-2} + a_0q^{n-1})
		\end{equation}
		\begin{equation}
			a_0q^n = -p(a_np^{n-1} + a_{n-1}p^{n-2}q + \cdots + a_1q^{n-1})
		\end{equation}
		
		由方程 (1) 可知，$q$ 整除等式左边 $a_np^n$。因为 $\gcd(p, q)=1$，所以 $\gcd(p^n, q)=1$，根据欧几里得引理，$q$ 必须整除 $a_n$。\\
		
		由方程 (2) 可知，$p$ 整除等式左边 $a_0q^n$。因为 $\gcd(p, q)=1$，所以 $\gcd(p, q^n)=1$，同理，$p$ 必须整除 $a_0$。\\
		
		证毕。
	\end{proof}
	
	\section{应用方法与示例}
	应用有理根定理求解多项式方程的一般步骤如下：
	\begin{enumerate}
		\item 列出常数项 $a_0$ 的所有正负因数作为分子 $p$。
		\item 列出最高次项系数 $a_n$ 的所有正负因数作为分母 $q$。
		\item 形成所有可能的分数 $\dfrac{p}{q}$（已约分形式），得到候选根列表。
		\item 将候选根代入原方程 $P(x)=0$ 检验，或使用综合除法(Synthetic Division)验证。
		\item 若找到一个根 $r$，则通过综合除法将多项式因式分解为 $(x - r)Q(x)$，并对商式 $Q(x)$ 重复上述过程。
	\end{enumerate}
	
	\begin{example}
		求方程 $2x^4 + x^3 - 13x^2 - 4x + 6 = 0$ 的所有有理根。
	\end{example}
	
	\textbf{解：}
	\begin{enumerate}
		\item 常数项 $a_0 = 6$，其因子 $p = \pm1, \pm2, \pm3, \pm6$。
		\item 最高次项系数 $a_n = 2$，其因子 $q = \pm1, \pm2$。
		\item 所有可能的有理根候选为：$\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}$。
	\end{enumerate}
	接下来，我们使用综合除法来高效地验证这些候选根。下图演示了验证 $x = -1$ 和 $x = 3$ 是否为根的过程。
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[
			node distance=1cm,
			op/.style={circle, draw, thick, minimum size=8mm},
			synthnode/.style={rectangle, draw, thick, minimum size=8mm, inner sep=2pt}
			]
			
			% Synthetic Division for x = -1
			\node (title1) at (0, 0) {验证候选根 $x = -1$};
			\node (divisor1) [op, below=of title1] {-1};
			\node (coeff1) [synthnode, right=of divisor1] {2};
			\node (coeff2) [synthnode, right=of coeff1] {1};
			\node (coeff3) [synthnode, right=of coeff2] {-13};
			\node (coeff4) [synthnode, right=of coeff3] {-4};
			\node (coeff5) [synthnode, right=of coeff4] {6};
			
			% Bring down
			\node (bringdown1) [synthnode, below=of coeff1] {2};
			\draw[->, thick] (coeff1) -- (bringdown1);
			
			% Multiply and Add Step 1
			\node (mult1) [op, below=of divisor1] {$\times$};
			\node (add1) [op, below=of bringdown1] {$+$};
			\draw[->, thick] (divisor1) -- (mult1);
			\draw[->, thick] (bringdown1) -- (mult1);
			\node (result1) [synthnode, below=of add1] {-2};
			\draw[->, thick] (mult1) -| (result1);
			\draw[->, thick] (coeff2) -- (add1);
			\draw[->, thick] (result1) -- (add1);
			\node (bringdown2) [synthnode, below=of add1, xshift=1cm] {-1};
			\draw[->, thick] (add1) -- (bringdown2);
			
			% Multiply and Add Step 2 (and so on... conceptually)
			% ... (The TikZ code for the complete synthetic division steps would be here) ...
			
			\node (finalremainder) at (4, -5) {余数 $R = 0$，故 $x=-1$ 是根};
			\draw[->, thick] (finalremainder) -- (3.5, -4);
			
			% Synthetic Division for x = 3
			\node (title2) at (9, 0) {验证候选根 $x = 3$};
			\node (divisor2) [op, below=of title2] {3};
			\node (coeffB1) [synthnode, right=of divisor2] {2};
			\node (coeffB2) [synthnode, right=of coeffB1] {-1};
			\node (coeffB3) [synthnode, right=of coeffB2] {-12};
			\node (coeffB4) [synthnode, right=of coeffB3] {8};
			\node (coeffB5) [synthnode, right=of coeffB4] {6};
			
			% ... (Similarly, draw the steps for x=3) ...
			
			\node (finalremainder2) at (13, -5) {余数 $R \neq 0$，故 $x=3$ \textbf{不是}根};
			\draw[->, thick] (finalremainder2) -- (12.5, -4);
			
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	通过逐一验证（过程略），我们最终发现 $x = -1$ 和 $x = 3$ 都是该方程的根。利用综合除法进行因式分解后，原方程可化为 $(x+1)(x-3)(2x^2 - x - 2) = 0$。进一步求解二次方程，可得所有根为：
	\[
	x = -1, \quad x = 3, \quad x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}
	\]
	
	\section{结论}
	有理根定理是处理整系数多项式有理根问题的关键定理。它极大地缩小了有理根的搜索范围，将其从一个无限的集合限制为一个有限的、易于处理的候选列表。结合综合除法，它成为了因式分解和求解多项式方程的一个系统性方法。然而，必须注意，该定理仅提供\textbf{可能}的根，并非所有候选根都一定是真正的根，并且它对于无理根和复数根无能为力。尽管如此，它仍然是代数工具箱中一个不可或缺的重要工具。
	